По­яс­не­ние. При­ведём вер­ное на­пи­са­ние.

Биб­лио­те­ка была НЕ­БОЛЬ­ШАЯ, но очень цен­ная. − НЕ с при­ла­га­тель­ным пи­шет­ся слит­но, т. к. можно за­ме­нить си­но­ни­мом «ма­лень­кая»; про­ти­во­по­став­ле­ния в пред­ло­же­нии нет, ведь при­зна­ки не­боль­шая, но цен­ная − раз­ные.

И эти те­ле­фо­ны, почти ни­ко­гда НЕ УМОЛ­КАЯ, зво­ни­ли. − НЕ с де­е­при­ча­сти­ем раз­дель­но.

В ком­на­те было НЕ ПРО­ВЕТ­РЕ­НО, пахло хи­ми­ка­та­ми. − НЕ с крат­ким при­ча­сти­ем.

Ми­ха­ил НЕ ДО­ГО­ВО­РИЛ – его обо­рвал на по­лу­сло­ве рез­кий стук в дверь. − НЕ с гла­го­лом раз­дель­но; при­став­ки недо- в слове нет, это гла­гол с при­став­кой до- в зна­че­нии «до­пол­ни­тель­но со­вер­шить дей­ствие, до­ве­сти до не­об­хо­ди­мой нормы» с ча­сти­цей НЕ.

С боль­ны­ми, НЕ ОСО­ЗНА­Ю­ЩИ­МИ, к каким серьёзным по­след­стви­ям может при­ве­сти их отказ от ле­че­ния, врачи ведут разъ­яс­ни­тель­ные бе­се­ды. − НЕ с пол­ным при­ча­сти­ем пи­шет­ся раз­дель­но, т. к. есть за­ви­си­мые слова: не осо­зна­ю­щим (чего?) к каким серьёзным по­след­стви­ям может при­ве­сти их отказ от ле­че­ния.

Ответ: не­боль­шая.