По­яс­не­ние. При­ведём вер­ное на­пи­са­ние.

Так часто с то­ва­ром бы­ва­ет: ни­ко­му НЕ НУЖ­НАЯ вещь стоит го­да­ми, а потом её прямо из рук рвут.  — При­ла­га­тель­ное пи­шет­ся раз­дель­но, т. к. нель­зя за­ме­нить си­но­ни­мом и ещё есть за­ви­си­мое слово "ни­ко­му".

Мне тоже де­ла­ют во­про­сы из не­ко­то­рых пред­ме­тов, но я ока­зы­ва­юсь весь­ма плох, и про­фес­со­ра ста­ра­ют­ся перед ба­буш­кой скрыть моё НЕ­ЗНА­НИЕ, что ещё более кон­фу­зит меня.  — Слит­но, по­то­му что можно за­ме­нить си­но­ни­мом «от­сут­ствие зна­ний, глу­пость»

НЕ ИС­КЛЮ­ЧЕ­НО, что они про­сто де­мон­стри­ру­ют свои спо­соб­но­сти и ждут зри­те­ля.  — Раз­дель­но с крат­ким при­ча­сти­ем.

В тот день я дол­жен был съез­дить в город по делам, НЕ ИМЕ­Ю­ЩИМ к этой ис­то­рии ни­ка­ко­го от­но­ше­ния.  — Раз­дель­но с пол­ным при­ча­сти­ем, т. к. есть за­ви­си­мое слово.

Новый сарай на месте сго­рев­ше­го сде­ла­ли НЕ ХУЖЕ ста­ро­го.  — Раз­дель­но с на­ре­чи­ем, по­то­му что это на­ре­чие в срав­ни­тель­ной сте­пе­ни

Ответ: не­зна­ние.